Qualche giorno ho chiesto ad un mio amico se esistessero degli infiniti intermedi tra quello degli interi e quello dei reali. Lui mi disse che non ne esistevano di intermedi. Siccome sono San Tommaso mi sono documentato.
L'insieme Z dei numeri interi ha una cardinalità |Z| (chiamata spesso anche ℵ₀).
L'insieme R dei numeri interi ha una cardinalità |R| (chiamata spesso anche ℵ₁).
L'ipotesi del continuo, avanzata da Georg Cantor (1845-1918), afferma che non esiste un insieme A tale che |Z| < |A| < |R|.
L'ipotesi del continuo è proprio quella che mi aveva ricordato il mio amico.
Oggi però ho scoperto due cose:
1. Nel 1940 Kurt Gödel (1906-1978) ha dimostrato che l'ipotesi del continuo non può essere dimostrata come falsa in matematica [*].
2. Nel 1963 Paul Joseph Cohen (1934-2007) ha dimostrato che l'ipotesi del continuo non può essere dimostrata come vera in matematica [*].
Ma se questa ipotesi non può essere dimostrata né come falsa né come vera allora significa che è indecidibile in matematica [*], cioè è una di quelle affermazioni che soddisfano il teorema di incompletezza di Gödel, cioè affermazioni all'interno della matematica [*] che non si possono dimostrare né vere, né false.
Ma quindi, alla fin fine, anche se ho capito e accettato che non si può dimostrare formalmente la verità o la falsità dell'ipotesi del continuo, questa ipotesi è però vera oppure falsa?
[*] con la locuzione in matematica si intende nella teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel comprensiva dell'assioma di scelta.
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